如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過點O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求證：ED為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，ED=4，EO的延長線交⊙O于F，連DF、AF，求△ADF的面積．
（1）證明：連接OD，CD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠CDA=90°=∠BDC，
∵OE∥AB，CO=AO，
∴BE=CE，
∴DE=CE，
∵在△ECO和△EDO中
DE=CE
EO=EO
OC=OD
，
∴△ECO≌△EDO，
∴∠EDO=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，OD過圓心O，
∴ED為⊙O的切線．

（2）過O作OM⊥AB于M，過F作FN⊥AB于N，
則OM∥FN，∠OMN=90°，
∵OE∥AB，
∴四邊形OMFN是矩形，
∴FN=OM，
∵DE=4，OC=3，由勾股定理得：OE=5，
∴AC=2OC=6，
∵OE∥AB，
∴△OEC∽△ABC，
∴
OC
AC
=
OE
AB
，
∴
3
6
=
5
AB
，
∴AB=10，
在Rt△BCA中，由勾股定理得：BC=
102-62
=8，

sin∠BAC=
BC
AB
=
OM
OA
=
8
10
，
即
OM
3
=
4
5
，
OM=
12
5
=FN，
∵cos∠BAC=
AC
AB
=
AM
OA
=
3
5
，
∴AM=
9
5

由垂徑定理得：AD=2AM=
18
5
，
即△ADF的面積是
1
2
AD×FN=
1
2
×
18
5
×
12
5
=
108
25
．
答：△ADF的面積是
108
25
．
練習冊系列答案
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C．與x軸相切，與y軸相離D．與x軸，y軸都相切

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