Question

如圖，AB是半圓（圓心為O）的直徑，OD是半徑，BM切半圓于B，OC與弦AD平行且交BM于C．
（1）求證：CD是半圓的切線；
（2）若AB長為4，點D在半圓上運動，設AD長為x，點A到直線CD的距離為y，試求出y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線的性質，由BM切半圓于B得∠OBC=90°，再根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，即AD⊥BD，而OC∥AD，則OC⊥BD，于是可判斷OC垂直平分BD，得到CD=CB，所以∠3=∠4，易得∠2+∠4=∠1+∠3=90°，即∠ODC=90°，然后根據(jù)切線得判定定理得到CD是半圓的切線；
（2）作AH⊥CD于H，如圖，則AH=y，證明Rt△ABD∽Rt△ADH，利用相似比得x：y=4：x，則y=

1

4

x²（0＜x＜4）．

解答：（1）證明：∵BM切半圓于B，
∴OB⊥BM，
∴∠OBC=90°，
∵AB是半圓（圓心為O）的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，
∴OC平分BD，即OC垂直平分BD，
∴CD=CB，
∴∠3=∠4，
而∠1=∠2，
∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°，即∠ODC=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是半圓的切線；
（2）解：作AH⊥CD于H，如圖，則AH=y，
∵OD⊥CD，
∴∠5+∠ADO=90°，
而∠2+∠ADO=90°，∠1=∠2，
∴∠1=∠5，
∴Rt△ABD∽Rt△ADH，
∴AD：AH=AB：AD，即x：y=4：x，
∴y=

1

4

x2（0＜x＜4）．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．