Question

5．已知拋物線C：y=ax²+bx+6的頂點為M，且經過點A（1，0），對稱軸為直線x=2．
（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標；
（2）將拋物線C繞著x軸上的一點P旋轉180°得到拋物線C′，且點M的對應點記為點M′，點A的對應點記為點A′，若四邊形AM′A′M的面積為16，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)對稱性可求出點A（1，0）關于對稱軸直線x=2的對稱點為（3，0），然后把（1，0），（3，0）代入y=ax²+bx+6即可求出答案．
（2）設P（t，0），根據(jù)題意，PA=PA′=|t-1|，M′的縱坐標為2，由四邊形AM′A′M的面積=4×$\frac{1}{2}$×|t-1|×2=16，即可求得．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+6的對稱軸為x=2，
∴根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得：點A（1，0）的對稱點為（3，0），
把兩點代入得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+6=0}\\{9a+3b+6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=2x²-8x+6，
∵y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
∴頂點M的坐標為（2，-2）．
（2）設P（t，0），
根據(jù)題意，PA=PA′=|t-1|，M′的縱坐標為2，
∵四邊形AM′A′M的面積為16，
∴4×$\frac{1}{2}$×|t-1|×2=16，
解得t=5或-3，
∴點P的坐標為（5，0）或（-3，0）．

點評 本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)圖象與幾何變換，求出點A關于對稱軸的對稱點和熟練掌握旋轉的性質是本題的關鍵．