Question

12．關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+（2n+1）x+n，它的圖象為拋物線C_n，頂點(diǎn)為M_n．
（1）求頂點(diǎn)M_n的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）．
（2）設(shè)縱坐標(biāo)值最大的拋物線頂點(diǎn)為M，該拋物線記為C，（如圖）C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，A在B的左側(cè)，C的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)D，l上是否存在點(diǎn)P使△ADP與△MDO相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）我們知道n取不同的值，二次函數(shù)的解析式就不同，圖象自然也不同了，是否存在定點(diǎn)T，無論n取什么實(shí)數(shù)，T都在它的圖象上？若存在，求點(diǎn)T坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，即可求解；
（2）先根據(jù)題意確定n的值，求出點(diǎn)A，M，D的坐標(biāo)，根據(jù)相似分類討論即可求出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）由題意分析，“與n的值無關(guān)”即解析式中n的系數(shù)為0，即可求解．

解答 解：（1）y=x²+（2n+1）x+n=$（x+\frac{2n+1}{2}）^{2}$+$\frac{-4{n}^{2}-1}{4}$，
∴M_n（$-\frac{2n+1}{2}$，$\frac{-4{n}^{2}-1}{4}$）；
（2）如圖1，

當(dāng)n=0時(shí)，$\frac{-4{n}^{2}-1}{4}$的值最大，此時(shí)$\frac{-4{n}^{2}-1}{4}$=-$\frac{1}{4}$，
此時(shí)拋物線的解析式為：y=x²+x，
令y=0，解得：x=0，或x=-1，
∴點(diǎn)A（-1，0），B（0，0），
易求拋物線的對(duì)稱軸l：x=$-\frac{1}{2}$，點(diǎn)M（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
此時(shí)，DM=$\frac{1}{4}$，DO=$\frac{1}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)△ADP與△MDO相似時(shí)，
$\frac{AD}{DM}=\frac{DP}{DO}$，
解得：DP=1，
此時(shí)，P₂（$-\frac{1}{2}$，1），P₃（$-\frac{1}{2}$，-1）；
當(dāng)△ADP與△ODM相似時(shí)，
$\frac{AD}{DO}=\frac{DP}{DM}$，
解得：DP=$\frac{1}{4}$，
此時(shí)，P₁（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），P₄（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：
P₂（$-\frac{1}{2}$，1），P₃（$-\frac{1}{2}$，-1），P₁（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），P₄（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）；
（3）由y=x²+（2n+1）x+n，
整理得：（2x+1）n+x²+x-y=0，
由題意，2x+1=0，且x²+x-y=0，
解得：x=$-\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{4}$；
將x=$-\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{4}$代入拋物線解析式恒成立，
所以符合條件的點(diǎn)T存在，其坐標(biāo)為：T（$-\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會(huì)把拋物線配方為頂點(diǎn)式，會(huì)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類解決點(diǎn)的存在性問題，知道拋物線恒過某一點(diǎn)的條件是解題的關(guān)鍵．