Question

17．求函數y=|x-1|+|2x-1|+…+|8x-1|+|9x-1|的最小值及對應自變量x的取值．

Answer 1

分析 分段討論t的范圍從而去掉絕對值，①0≤x≤$\frac{1}{9}$，②$\frac{1}{9}$＜x≤$\frac{1}{8}$，③$\frac{1}{8}$＜x≤$\frac{1}{7}$，④$\frac{1}{7}$≤x＜$\frac{1}{6}$，⑤$\frac{1}{6}$≤x＜$\frac{1}{5}$，⑥$\frac{1}{5}$≤x＜$\frac{1}{4}$，⑦$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{1}{3}$，⑧$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$，⑨$\frac{1}{2}$≤x＜1，x≥1這樣可得出每一段y的取值范圍，綜合起來可得出y取1時x的取值范圍．

解答 解：①當0≤x＜$\frac{1}{9}$時，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+1-7x+1-8x+1-9x=9-45x，當x=$\frac{1}{9}$時，y_最小=4；
②當$\frac{1}{9}$＜x≤$\frac{1}{8}$時，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+1-7x+1-8x+9x-1=7-27x，當x=$\frac{1}{8}$時，y_最小=$\frac{29}{8}$；
③當$\frac{1}{8}$＜x≤$\frac{1}{7}$時，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+1-7x+8x-1+9x-1=-11x+5，當x=$\frac{1}{7}$時，y_最小=$\frac{24}{7}$；
④當$\frac{1}{7}$≤x＜$\frac{1}{6}$時，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+7x-1+8x-1+9x-1=3x+3，當x=$\frac{1}{7}$時，y_最小=$\frac{24}{7}$；
⑤當$\frac{1}{6}$≤x＜$\frac{1}{5}$時，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=15x+1，當x=$\frac{1}{6}$時，y_最小=$\frac{7}{2}$；
⑥當$\frac{1}{5}$≤x＜$\frac{1}{4}$時，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=25x-1，當x=$\frac{1}{5}$時，y_最小=4；
⑦當$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{1}{3}$時，y=1-x+1-2x+1-3x+4x-1+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=33x-6，當x=$\frac{1}{4}$時，y_最小=$\frac{11}{4}$；
⑧當$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$時，y=1-x+1-2x+3x-1+4x-1+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=39x-5，當x=$\frac{1}{3}$時，y_最小=8；
⑨當$\frac{1}{2}$≤x＜1時，y=1-x+2x-1+3x-1+4x-1+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=43x-7，當x=$\frac{1}{2}$時，y_最小=$\frac{29}{2}$；
當x≥1時，y=x-1+2x-1+3x-1+4x-1+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=45x-9，當x=1時，y_最小=36；
綜上所述：當x=$\frac{1}{4}$時，y_最小=$\frac{11}{4}$．

點評 此題考查了函數的最值問題，在于分段討論x的取值范圍，從而去掉絕對值進行運算，難度較大．