Question

16．如圖1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O為AC中點(diǎn)．
（1）如圖1，若把三角板的直角頂點(diǎn)放置于點(diǎn)O，兩直角邊分別與AB、BC交于點(diǎn)M，N，求證：BM=CN；
（2）若點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，在射線BC上找一點(diǎn)D，使PD=PB，再過(guò)點(diǎn)D作BO的平行線，交直線AC于一點(diǎn)E，試在備用圖上探索線段ED和OP的關(guān)系，并說(shuō)明理由．試在備用圖上探索線段ED和OP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OB，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證明∠OBM=∠C=45°，OB=OC，依據(jù)同角的余角相等可證明∠MOB=∠NOC，依據(jù)ASA可證明△BOM≌Rt△CON，由全等三角形的性質(zhì)可知BM=CN；
（2）首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段CO上時(shí)，如圖3所示，然后依據(jù)AAS證明△BPO≌△PDE（AAS），由求全等三角形的性質(zhì)可知OP=DE．

解答 證明（1）：如圖1所示：連結(jié)OB．

∵AB=BC，O為AC中點(diǎn)，
∴∠ABO=∠CBO，BO⊥AC．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠A=∠C=45°．
∴∠ABO=∠C=∠CBO．
∴0B=OC．
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°．
∴∠MOB=∠CON．
在△BOM和Rt△CON中$\left\{\begin{array}{l}{∠MBO=∠C}\\{OB=OC}\\{∠MOB=∠CON}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌Rt△CON（ASA）．
∴BM=CN．
（2）OP=DE．
理由如下：①如圖2，若點(diǎn)P在線段AO上．

∵BO⊥AC，
∴∠BOC=90°．
∵OB∥DE，
∴∠POB=∠PED=90°．
∴OP⊥DE．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD．
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°．
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=45°．
∴∠OBC=∠C=45°．
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC，∠DPC=∠PDB-∠C，
∴∠PBO=∠DPC．
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°．
在△BPO和△PDE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠PED}\\{∠PBO=∠DPC}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）．
∴OP=DE．
②若點(diǎn)P在線段CO上．

∵OB∥DE，
∴∠OBC=∠BDE=45°．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°，∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°，
∴∠APB=∠PDE．
在△BPO和△PDE中$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠PDE}\\{∠BOP=∠DEP}\\{PB=PD}\end{array}\right.$
∴△BPO≌△PDE（AAS）．
∴OP=DE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形并征得△BPO≌△PDE是解題的關(guān)鍵．