Question

音樂(lè)噴泉的某一個(gè)噴水口，噴出的一束水流形狀是拋物線(xiàn)，在這束水流所在平面建立平面直角坐標(biāo)系，以水面與此面的相交線(xiàn)為x軸，以噴水管所在的鉛垂線(xiàn)為y軸，噴出的水流拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²+bx+2．但控制進(jìn)水速度，可改變噴出的水流達(dá)到的最大高度，及落在水面的落點(diǎn)距噴水管的水平距離．
（1）噴出的水流拋物線(xiàn)與拋物線(xiàn)y=ax²的形狀相同，則a=______；
（2）落在水面的落點(diǎn)距噴水管的水平距離為2個(gè)單位長(zhǎng)時(shí)，求水流拋物線(xiàn)的解析式；
（3）求出（2）中的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸；
（4）對(duì)于水流拋物線(xiàn)y=-x²+bx+2．當(dāng)b=b₁時(shí)，落在水面的落點(diǎn)坐標(biāo)為M（m，0），當(dāng)b=b₂時(shí)，落在水面的落點(diǎn)坐標(biāo)為N（n，0），點(diǎn)M與點(diǎn)N都在x軸的正半軸，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊，試比較b₁與b₂的大�。�

Answer 1

解：（1）a=-1

（2）落在水面的落點(diǎn)距噴水管的水平距離為2個(gè)單位長(zhǎng)時(shí)，
即點(diǎn)（2，0）在拋物線(xiàn)y=-x²+bx+2上
得：0=-4+2b+2
有b=1
拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+x+2

（3）y=-x²+x+2=-（x-）²+
拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

（4）∵點(diǎn)M與點(diǎn)N都在x軸的正半軸，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊
∴m＞n＞0
∴m-n＞0，mn＞0．
∵當(dāng)b=b₁時(shí)，落在水面的落點(diǎn)坐標(biāo)為M（m，0）
∴0=-m²+b₁m+2
∴b₁=
同理b₂=
b₁-b₂=-==
∴b₁-b₂＞0，
∴b₁＞b₂
分析：（1）兩個(gè)拋物線(xiàn)的形狀相同，則二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等，再根據(jù)已知拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，即可判斷a的值；
（2）落在水面的落點(diǎn)距噴水管的水平距離為2個(gè)單位長(zhǎng)，即拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），代入函數(shù)解析式即可求解；
（3）利用配方法即可求解；
（4）點(diǎn)M與點(diǎn)N都在x軸的正半軸，且點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊，即m＞n＞0．在拋物線(xiàn)y=-x²+bx+2中令y=0，得到=-x²+bx+2=0．
把坐標(biāo)M（m，0）代入得到0=-m²+b₁m+2，求得b₁，同理可以求得b₂，即可進(jìn)行比較．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線(xiàn)形狀相同的形狀，配方法是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的題目．