Question

如圖，已知直線y=-

3

4

x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，線段AB為直角邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．
（1）求△AOB的面積；
（2）求點C坐標；
（3）點P是x軸上的一個動點，設P（x，0），
①請用x的代數式表示PB²、PC²；
②是否存在這樣的點P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，請說明理由；如果存在，請直接寫出點P的坐標

（-21，0）

．

Answer 1

分析：（1）由直線y=-

3

4

x+3得出OA、OB，可求△AOB的面積；
（2）過C點作CD⊥x軸，垂足為D，根據△ABC為等腰直角三角形證明△OAB≌△DCA，得出CD=OA，AD=OB，確定C點坐標；
（3）①設P（x，0），可知PD=7-x，在Rt△OPB，Rt△PCD中，利用勾股定理求PB²、PC²，
②存在這樣的P點．當PB與PA成一直線時，|PC-PB|的值最大．

解答：解：（1）由直線y=-

3

4

x+3，令y=0，得OA=x=4，令x=0，得OB=y=3，
所以，S_△AOB=

1

2

×4×3=6；

（2）過C點作CD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BAO+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
又∵AB=AC，∠AOB=∠CDA=90°，
∴△OAB≌△DCA，
∴CD=OA=4，AD=OB=3，則OD=4+3=7，
∴C（7，4）；

（3）①由（2）可知，PD=|7-x|，
在Rt△OPB中，PB²=OP²+OB²=x²+9，
Rt△PCD中，PC²=PD²+CD²=（7-x）²+16=x²-14x+65，
②存在這樣的P點．
延長BC交x軸于P，
設直線BC解析式為y=kx+b，將B、C兩點坐標代入，得

b=3 7k+b=4

，
解得

k= 1 7 b=3

，
所以，直線BC解析式為y=

1

7

x+3，
令y=0，得P（-21，0），此時|PC-PB|的值最大，
故答案為：（-21，0）．

點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是根據等腰直角三角形的特殊性證明全等三角形求C點坐標，由勾股定理求線段長的平方，由三角形三邊關系求|PC-PB|最大值．