Question

13．如圖，AC是平行四邊形ABCD的對角線．
（1）請按如下步驟在圖中完成作圖（保留作圖痕跡）：
①分別以A，C為圓心，以大于$\frac{1}{2}AC$長為半徑畫弧，弧在AC兩側(cè)的交點分別為P，Q；②連結(jié)PQ，PQ分別與AB，AC，CD交于點E，O，F(xiàn)．
（2）再連接AF、CE，求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)要求畫出圖形即可；
（2）根據(jù)作圖可得PQ是AC的垂直平分線，進而可得AO=CO，然后證明△OFC≌△OEA可得FC=AE，從而可得四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)AC⊥EF可判定四邊形AECF是菱形．

解答 （1）解：如圖所示；

（2）證明：根據(jù)作圖可得PQ是AC的垂直平分線，
∴AO=OC，
∵DC∥AB，
∴∠CFO=∠AEO，∠FCO=∠EAO，
在△OFC和△OEA中$\left\{\begin{array}{l}{∠CFO=∠AEO}\\{∠FCO=∠EAO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴△OFC≌△OEA（AAS），
∴FC=AE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥FE，
∴四邊形AECF是菱形．

點評 此題主要考查了復雜作圖，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的做法，掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．