Question

如圖，點(diǎn)B在線段AC上，點(diǎn)D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．

（1）求證：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點(diǎn)Q；

（i）當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值；

（ii）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°。

∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°�！唷�1=∠E。

∵在△ABD和△CEB中，∠1=∠E，∠A=∠C=90°，AD=BC，

∴△ABD≌△CEB（AAS）。∴AB=CE。

∴AC=AB+BC=AD+CE。

（2）（i）如圖，連接DQ，

∵∠DPQ=∠DBQ=90°,

∴D、P、B、Q四點(diǎn)在以DQ為直徑的圓上。

∴∠DQP=∠DBP。

∴Rt△DPQ∽R(shí)t△DAB。∴。

∵DA=3，AB=EC=5，∴。

（ii）線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)為。

【解析】（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證。

（2）（i）如圖，連接DQ，由∠DPQ=∠DBQ=90°得到D、P、B、Q四點(diǎn)在以DQ為直徑的圓上，從而可得Rt△DPQ∽R(shí)t△DAB，因此。

（ii）線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN。

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至AC中點(diǎn)時(shí)，AP=4，

∴在Rt△ADP中，根據(jù)勾股定理得：DP=5。

由得。

∴在Rt△DPQ中，根據(jù)勾股定理得：。

又在Rt△ADP中，根據(jù)勾股定理得：。

∵M(jìn)N是△BDQ的中位線，

∴。

∴在Rt△DMN中，根據(jù)勾股定理得：。

∴線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線段）長(zhǎng)為。