Question

如圖1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個(gè)三角形(如圖2所示)．將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B(AB)方向平移(點(diǎn)A，D₁，D₂，B始終在同一直線上)，當(dāng)點(diǎn)D₁與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移．在平移的過(guò)程中，C₁D₁與BC₂交于點(diǎn)E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點(diǎn)F、P．
【小題1】當(dāng)△AC₁D₁平移到如圖3所示位置時(shí)，猜想D₁E與D₂F的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由
【小題2】設(shè)平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁和△BC₂D₂重復(fù)部分面積為y，請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
【小題3】對(duì)于(2)中的結(jié)論是否存在這樣的x，使得重復(fù)部分面積等于原△ABC紙片面積的？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖1                  圖2                       圖3

Answer 1

【小題1】．                               ……………………1分
∵，∴．∠C₂=∠BED₁
又∵∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，
∴， DC＝DA＝DB，即
∴，∠C₂=∠B ∴， ∠BED₁=∠B ……………2分
∴，． ．
又∵，∴．∴        ……………………3分
【小題2】∵在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以由勾股定理，得AB＝10．
即
又∵，∴．∴
在中，到的距離就是△ABC的AB邊上的高，為．
設(shè)的邊上的高為h，由探究，得，∴．
∴．．……………………6分
又∵，∴．
又∵，．
∴，
而
∴．       ……………8分
【小題3】存在．                           ………………9分
當(dāng)時(shí)，即
整理，得．解得，．………………11分
即當(dāng)或時(shí)，重疊部分的面積等于原△ABC面積的．……12分

解析