Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線L1:y=+bx+c過(guò)點(diǎn)C(0,3),與拋物線L2:y=x+2的一個(gè)交點(diǎn)為A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)P、Q分別是拋物線L1、L2上的動(dòng)點(diǎn)。

(1)求拋物線L1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若以點(diǎn)A. C.P、Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）拋物線L1：y=-2x-3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0），（3,0）或（-）；

【解析】

（1）先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式便可；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2-2x-3），分兩種情況討論：AC為平行四邊形的一條邊，AC為平行四邊形的一條對(duì)角線，用x表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再把Q點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線L2：y=x+2中，列出方程求得解便可.

(1) 將x=2代入y=x+2，得y=3，

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-3），

將A(2,-1), C(0,3)代入y=+bx+c，

得-3=+2b+c ，-3=0+0+c，

解得b=-2，c=-3，

∴拋物線L1：y=-2x-3；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-2x-3），

第一種情況：AC為平行四邊形的一條邊，

①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x+2，-2x-3），

將Q（x+2，-2x-3）代入y=x+2得，-2x-3=-+2,

解得，x=0或x=-1，

因?yàn)?/span>x=0時(shí)，點(diǎn)P與C重合，不符合題意，所以舍去，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）；

②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x-2， -2x-3），

將Q（x-2，-2x-3）代入y=x+2得， -2x-3=-+2,

解得，x=3，或x=-，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）或（-）；

第二種情況：當(dāng)AC為平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí)，

由AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），得PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），

故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2-x，-+2x-3），

將Q（2-x，-+2x-3）代入y=x+2得，-+2x-3=-+2,

解得，x=0或x=-3，

因?yàn)?/span>x=0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，不符合題意，所以舍去，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，12），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0），（3,0）或（-）或（-3，12）.