Question

（1）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖1，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你猜想的結(jié)論；

②將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（2）當(dāng)△ABC和△ADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個(gè)條件時(shí)，使線段BD、CE在（1）中的位置關(guān)系仍然成立？不必說(shuō)明理由．

甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；

乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；

丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．

 

Answer 1

【答案】

（1）①結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE②結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE，理由見(jiàn)解析（2）乙

【解析】解：（1）①結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE。

②結(jié)論：BD=CE，BD⊥CE。理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。

在Rt△ABD與Rt△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。

延長(zhǎng)BD交AC于F，交CE于H。

在△ABF與△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC，

∴∠CHF=∠BAF=90°�！郆D⊥CE。

（2）結(jié)論：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。

（1）①BD=CE，BD⊥CE。根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BD=CE、對(duì)應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF。

②BD=CE，BD⊥CE。根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得BD=CE、對(duì)應(yīng)角相等∠ABF=∠ECA；作輔助線（延長(zhǎng)BD交AC于F，交CE于H）BH構(gòu)建對(duì)頂角∠ABF=∠HCF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得∠BHC=90°。

（2）根據(jù)結(jié)論①、②的證明過(guò)程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）時(shí)，該結(jié)論成立了，所以本條件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合適。