Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦．

（1）請你按下面步驟畫圖（畫圖或作輔助線時先使用鉛筆畫出，確定后必須使用黑色字跡的簽字筆描黑）；
第一步，過點A作∠BAC的角平分線，交⊙O于點D；
第二步，過點D作AC的垂線，交AC的延長線于點E．
第三步，連接BD．
（2）求證：DE是⊙O的切線；
（3）如圖AD=5，AE=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）如下圖；（2）詳見解析；（3）

試題分析：（1）根據(jù)基本作圖作出∠BAC的角平分線AD交⊙O于點D；點D作AC的垂線，垂足為點E；
（2）連接OD，先根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得OA=OD，根據(jù)“等邊對等角”可得∠OAD=∠ODA，再結(jié)合AD平分∠BAC可得∠EAD=∠ODA，即可證得AC∥OD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可作出判斷；
（3）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，而DE⊥AC，則∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到△AED∽△ADB，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得結(jié)果.
試題解析：（1）如圖所示：

（2）連接OD

∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠OAD
∴∠EAD=∠ODA
∴AC∥OD
∵DE⊥AC
∴∠EDO=90°
∴DE是⊙O的切線；
（3）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴
∵AD=5，AE=4
∴，解得，即⊙O的直徑為．