Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分別在AB、AD邊上，已知AB=4．

（1）求正方形ABCD的周長(zhǎng)；

（2）將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，求證：BE=DG．

（3）將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BE交DG于點(diǎn)H，設(shè)BH與AD的交點(diǎn)為M．

①求證：BH⊥DG；

②當(dāng)AE=時(shí)，求線段BH的長(zhǎng)（精確到0.1）．

Answer 1

【答案】（1）16；（2）證明見(jiàn)解析；（3）①證明見(jiàn)解析；②5.1

【解析】

根據(jù)正方形的周長(zhǎng)定義求解；根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，AE=AG，在根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAE=∠DAG=θ，然后根據(jù)“SAS”判斷△BAE≌△DAG，則BE=DG；①由BAE≌△DAG得到∠ABE=∠ADG，而∠AMB=∠DMH，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠DHM=∠BAM=90°，則BH⊥DG；②連結(jié)GE交AD于點(diǎn)N，連結(jié)DE，由于正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=可得到AN=GN=1，所以DN=4﹣1=3，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出DG=，則BE=，解著利用S△DEG=GEND=DGHE可計(jì)算出HE=，所以BH=BE+HE=≈5．1．

解：（1）正方形ABCD的周長(zhǎng)=4×4=16；

（2）∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形， ∴AB=AD，AE=AG，

∵將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），∴∠BAE=∠DAG=θ，

在△BAE和△DAG，，

∴△BAE≌△DAG（SAS），

∴BE=DG；

（3）①證明：∵△BAE≌△DAG，∴∠ABE=∠ADG，又∵∠AMB=∠DMH，∴∠DHM=∠BAM=90°，∴BH⊥DG；

②解：連結(jié)GE交AD于點(diǎn)N，連結(jié)DE，如圖，∵正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，

∴AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，

∵AE=，∴AN=GN=1， ∴DN=4﹣1=3，

在Rt△DNG中，DG=； ∴BE=，

∵S△DEG=GEND=DGHE， ∴HE=，

∴BH=BE+HE=≈5.1．