Question

【題目】如圖(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是過A的一條直線, 且B.C在A.E的異側, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E

(1)試說明: BD=DE+CE.

(2)若直線AE繞A點旋轉到圖(2)位置時, 其余條件不變, 問BD與DE.CE的數量關系如何?請直接寫出結果, 不需說明

(3)如圖(3)若將圖（2）中的AB=AC改為∠ABD=∠ABC其余條件不變, 問AD與AE的數量關系如何? 并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）BD=DE+CE；（2）BD=DE-CE；（3）AD=AE.

【解析】

（1）根據已知利用AAS判定△ABD≌△CAE得出BD=AE，AD=CE，根據等量代換即可得出.
（2）根據已知利用AAS判定△ABD≌△CAE從而得到BD=AE，AD=CE，由AD+AE=BD+CE，得出BD，DE，CE之間的關系.

（3）作AF⊥BC于點F，先根據“AAS”證明△BAD≌△BAF，再根據“AAS”證明△CAE≌△CAF，即可得到AD與AE的數量關系.

解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∵，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE=AD+DE，

∴BD=DE+CE；

（2）結論：BD=DE-CE；

∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∵，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∴AD+AE=BD+CE，

∵DE=BD+CE，

∴BD=DE-CE．

（3）作AF⊥BC于點F，

在△BAD和△BAF中，

∵∠ABD=∠ABC，

∠D=∠AFB，

AB=AB，

∴△BAD≌△BAF，

∴AD=AF，∠BAD=∠BAF.

∵∠CAE+∠BAD=90°, ∠CAF+∠BAF=90°,

∴∠CAE=∠CAF.

在△CAE和△CAF中，

∵∠CAE=∠CAF，

∠E=∠AFC，

AC=AC，

∴△CAE≌△CAF，

∴AE=AF，

∴AD=AE.