Question

已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn)，連接AF交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，連接EC．

（1）求證：AE=EC；

（2）當(dāng)∠ABC=60°，∠CEF=60°時(shí)，點(diǎn)F在線段BC上的什么位置？說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：連接AC，

∵BD，AC是菱形ABCD的對(duì)角線，∴BD垂直平分AC。

∴AE=EC。

（2）點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)。理由如下：

在菱形ABCD中，AB=BC，

又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形。

∴∠BAC=60°。

∵AE=EC，∠CEF=60°，∴∠EAC=∠BAC=30°。

∴AF是△ABC的角平分線。

∵AF交BC于F，∴AF是△ABC的BC邊上的中線。

∴點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)。

【解析】

試題分析：（1）連接AC，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得BD垂直平分AC，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等即可得證。

 （2）先判定出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°可得∠BAC=60°，再根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠EAC=30°，從而判斷出AF是△ABC的角平分線，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AF是△ABC的BC邊上的中線，從而解得。