Question

3．如圖1，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3）（圖2，圖3為解答備用圖）．
（1）k=-3，點A的坐標為（-1，0），點B的坐標為（3，0）；
（2）設(shè)拋物線y=x²-2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將C點坐標代入拋物線解析式可求k的值，由拋物線解析式求A，B兩點坐標；
（2）根據(jù)A、B、M、N四點坐標，將四邊形分割為兩個三角形和一個梯形求面積；
（3）只要使△DBC面積最大即可，由此求D點坐標；

解答 解：（1）將C（0，-3）代入拋物線y=x²-2x+k中，得k=-3，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3，
令y=0，得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
故答案為-3，（-1，0），（3，0）；

（2）如圖（1），

過M點作MN⊥AB，垂足為N，
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4，可知M（1，-4），
∴S_{四邊形ABMC}=S_△ACO+S_梯形OCMN+S_△BMN=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×（3+4）×1+$\frac{1}{2}$×（3-1）×4=9；

（3）存在，如圖（2），

設(shè)D（m，m²-2m-3），
過D點作DE⊥AB，垂足為E，則
S_{四邊形ABDC}=S_△ACO+S_梯形OCDE+S_△BDE
=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×[3-（m²-2m-3）]×m+$\frac{1}{2}$×（3-m）×[-（m²-2m-3）]
=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m+6，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=-$\frac{\frac{9}{2}}{-3}$=$\frac{3}{2}$時，S_{四邊形ABDC}最大，此時D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，將四邊形分割為三角形與梯形的面積和求解，同時考查了坐標系中，線段的垂直關(guān)系．