Question

如圖，已知A(0，1)、C(4，3)、E，P是以AC為對角線的矩形ABCD內(nèi)部(不在各邊上)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸，拋物線y＝ax²＋bx＋1以P為頂點(diǎn)．

(1)說明點(diǎn)A、C、E在一條直線上；

(2)能否判斷拋物線y＝ax²＋bx＋1的開口方向？請說明理由；

(3)設(shè)拋物線y＝ax²＋bx＋1與x軸有交點(diǎn)F、G(F在G的左側(cè))，△GAO與△FAO的面積差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．這時(shí)能確定a、b的值嗎？若能，請求出a、b的值；若不能，請確定a、b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(1)如圖，由題意，A(0，1)、C(4，3)確定的解析式為：y＝x＋1．將點(diǎn)E的坐標(biāo)E代入y＝x＋1中，左邊＝，右邊＝×＋1＝， 　　∵左邊＝右邊，∴點(diǎn)E在直線y＝x＋1上，即點(diǎn)A、C、E在一條直線上． 　　(2)解法一：能．由于動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，而點(diǎn)A與點(diǎn)P都在拋物線上，且P為頂點(diǎn)，∴這條拋物線有最高點(diǎn)，拋物線的開口向下． 　　解法二：能．∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，且P在矩形ABCD內(nèi)部， 　　∴1＜＜3，由1＜1－得＞0，∴a＜0，∴拋物線的開口向下． 　　(3)不能，只能確定a、b的取值范圍． 　　連接GA、FA，∵S△GAF－S△FAO＝3 　　∴GO·AO－FO·AO＝3 　　∴OA＝1， 　　∴GO－FO＝6． 　　設(shè)F(x1，0)、G(x2，0)，則x1、x2為方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，且x1＜x2， 　　又∵a＜0，∴x1·x2＝＜0，∴x1＜0＜x2， 　　∴GO＝x2，F(xiàn)O＝－x1，∴x2－(－x1)＝6，即x2＋x1＝6，∵x2＋x1＝，∴＝6， 　　∴b＝－6a，∴拋物線解析式為：y＝ax2－6ax＋1，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，1－9a)， 　　由方程組得ax2－(6a＋)x＝0 　　∵頂點(diǎn)P在矩形ABCD內(nèi)部，∴1＜1－9a＜3，∴＜a＜0． 　　∴x＝0或x＝＝6＋． 　　當(dāng)x＝0時(shí)，即拋物線與線段AE交于點(diǎn)A，而這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有0＜6＋≤，解得≤a＜ 　　綜合得＜a＜．∵b＝－6a，∴＜b＜．