Question

命題：已知如圖所示，正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為O，E是AC上一點(diǎn)，AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于F，則OE=OF．
（1）證明上述命題．

（2）對(duì)上述命題，若點(diǎn)E在AC的延長線上，AG⊥EB交EB的延長線于點(diǎn)G，AG的延長線交DB的延長線于點(diǎn)F，其他條件不變，如圖所示，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？若成立，請(qǐng)你證明，若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠AFO+∠CAF=90°，∠AEB+∠CAF=90°，
∴∠AFO=∠AEB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF；

（2）OE=OF．
證明：∵∠GBF+∠F=90°，∠OBE+∠E=90°，∠GBF=∠DBE（對(duì)頂角相等），
∴∠E=∠F，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OB，
又∵∠AOB=∠BOE=90°，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．
分析：（1）證OE=OF，關(guān)鍵是證明三角形AOF和BOE全等．已知的條件有一組直角，OA=OE（正方形的對(duì)角線相等，且互相垂直平分）只要再證得一組對(duì)應(yīng)角相等即可得出三角形全等的結(jié)論，我們發(fā)現(xiàn)∠AFO和∠AEB都是∠CAF的余角，因此這兩個(gè)角相等，就構(gòu)成了兩個(gè)三角形全等的條件，由此可得出兩三角形全等，進(jìn)而得出OE=OF．
（2）還相等，證法和（1）相同也是證三角形AOF和BOE全等．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，通過全等三角形來證線段相等是解此類題的基本方法．