Question

【題目】如圖1，在中，，，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連接MC，點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接MP交AC于點(diǎn)H．將射線MP繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）找出與相等的角，并說明理由．

（2）如圖2，，求的值．

（3）在（2）的條件下，若，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；理由見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）．由直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知即可；

（2）如圖，過點(diǎn)C作交MP于點(diǎn)G．構(gòu)造全等三角形（）和相似三角形（），根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得的值．

（3）由（2）中相似三角形的性質(zhì)和等量代換推知．故．易得．由（2）知，，則．故，．根據(jù)題意得到：，所以該相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例：．將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入求t的值，所以．

（1）．

理由如下：∵，，

∴．

∴．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，．

∴；

（2）如圖，過點(diǎn)C作交MP于點(diǎn)G．

∴，．

∵，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

∴．

∴．

∴．

∵．

∴．

∵，

∴．

在與中，

∴．

∴．

∵．

∴．

∵，

∴．

∴．

設(shè)，則，．

在中，．

∴．

∴；

（3）如圖，由（2）知．則．

∵．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴．

由（2）知，，則．

∴，．

∵，．

∴．

∴．

∴，即．

解得，（舍去）．

∴．