Question

18．倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成“類比猜想”的問(wèn)題．
（1）如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，說(shuō)明理由．完成解題過(guò)程．
解：把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′，點(diǎn)F、D、E′在一條直線上．
（2）類比猜想請(qǐng)，同學(xué)們研究：
如圖（2），在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)∠BAD=120°，∠EAF=60°時(shí)，還有EF=BE+DF嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，進(jìn)而得出△AE′F≌△AEF（SAS），即可得出答案；
（2）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）如圖（1），∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′，點(diǎn)F、D、E′在一條直線上．
∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AE′F和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AE=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△AE′F≌△AEF（SAS）
∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．

（2）當(dāng)∠BAD=120°，∠EAF=60°時(shí)，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．
理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120°，∠EAF=60°，
∴AB=AD，∠1+∠2=60°，∠B=∠ADC=60°，
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，
∴∠EAE′=120°，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60°，
∴∠2+∠3=60°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AE}\\{∠E′AE=∠FAE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F，
∵∠ADE′+∠ADC=120°，即點(diǎn)F、D、E′不共線，
∴DE′+DF＞EF
∴BE+DF＞EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合題，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確應(yīng)用三角形全等的判定與性質(zhì)解決線段相等的問(wèn)題，得出EF=E′F是解題關(guān)鍵．