Question

如圖，用一塊長(zhǎng)為50cm、寬為30cm的長(zhǎng)方形鐵片制作一個(gè)無(wú)蓋的盒子，若在鐵片的四個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm．
（1）底面的長(zhǎng)AB=

50-2x

cm，寬BC=

30-2x

cm（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)做成盒子的底面積為300cm²時(shí)，求該盒子的容積．
（3）該盒子的側(cè)面積S是否存在最大的情況？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬以及在鐵片的四個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，得出AB與BC的長(zhǎng)即可；
（2）利用（1）中長(zhǎng)與寬以及盒子的底面積為300cm²時(shí)得出x的值，即可的求出盒子的容積；
（3）利用盒子側(cè)面積為：S=2x（50-2x）+2x（30-2x）進(jìn)而利用配方法求出最值即可．

解答：解：（1）∵用一塊長(zhǎng)為50cm、寬為30cm的長(zhǎng)方形鐵片制作一個(gè)無(wú)蓋的盒子，在鐵片的四個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，
設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，
∴底面的長(zhǎng)AB=（50-2x）cm，寬BC=（30-2x）cm，
故答案為：50-2x，30-2x；

（2）依題意，得：
（50-2x）（30-2x）=300
整理，得：x²-40x+300=0
解得：x₁=10，x₂=30（不符合題意，舍去）
當(dāng)x₁=10時(shí)，盒子容積=（50-20）（30-20）×10=3000（cm³）；

（3）盒子的側(cè)面積為：
S=2x（50-2x）+2x（30-2x）
=100x-4x²+60x-4x²
=-8x²+160x=-8（x²-20x）
=-8[（x-10）²-100]
=-8（x-10）²+800
∵-8（x-10）²≤0，
∴-8（x-10）²+800≤800，
∴當(dāng)x=10時(shí)，S有最大值，最大值為800．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的應(yīng)用，想象出立體圖形的形狀進(jìn)而表示出側(cè)面積是解題關(guān)鍵．