Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4

2

，∠B=45°，點E、F分別在邊BC、CD上移動，且∠AEF始終等于45°，則點E移動過程中，線段AF長的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：由題意易證∠1=∠3，從而得出△ABE∽△ECF；由相似得出比例式，即可得出y是x的二次函數(shù)，求出y的最大值即可；當(dāng)CF最大時，AF最小．

解答：解：設(shè)BE=x，CF=y
∵∠AEF=∠B=∠C=45°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=135°，
∴∠1=∠3，
∴△ABE∽△ECF；
AB=（4

2

-

2

）÷2×

2

=3，
由（1）得，

BE

CF

=

AB

CE

，即

x

y

=

3

4 2 -x

，
∴y=

1

3

x（4

2

-x）=-

1

3

x²+

4 2

3

x（0＜x＜4

2

）
當(dāng)x=2

2

即E為BC的中點時，y_max=

8

3

；
又∵當(dāng)CF最大時，AF最小，
此時DF=DC-CF=3-

8

3

=

1

3

，
作FH⊥AD于H，則FH=DH=

2

6

，
∴AF_min=

AH2+FH2

=

10

6

=

5

3

．

故答案為：

5

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的最值問題以及等腰梯形的性質(zhì)，是一道綜合題，難度較大．