Question

6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3的頂點為M（2，-1），交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，其中點B的坐標為（3，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)經(jīng)過點C的直線與該拋物線的另一個交點為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對稱，求直線CD的解析式；
（3）點E為線段BC上的動點（點E不與點C，B重合），以E為頂點作∠OEF=45°，射線EF交線段OC于點F，當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；
（4）在該拋物線的對稱軸上存在點P，滿足PM²+PB²+PC²=35，求點P的坐標；并直接寫出此時直線OP與該拋物線交點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用頂點式，將已知的兩點坐標代入其中進行求解即可；
（2）由C、B兩點的坐標不難判斷出OB=OC，即∠CBO=45°，那么若取BN⊥x軸交CD于N，結(jié)合“直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對稱”可得出A、N關(guān)于直線BC對稱，結(jié)合點B的坐標以及AB的長即可得到點N的坐標，在明確C、N兩點坐標的情況下，直線CD的解析式即可由待定系數(shù)法求得；
（4）先設(shè)出點P的坐標，而M、B、C三點坐標已知，即可得到PM²、PB²、PC²的表達式，結(jié)合題干的已知條件即可求出點P的坐標，從而進一步判斷出直線OP與拋物線的交點個數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為線Y=a（x-2）²-1．
∵點B（3，0）在拋物線上，∴0=a（3-2）²-1，
解得：a=1．
則該拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）在y=x²-4x+3中令x=0，得y=3．
故C（0，3）．
則OB=OC=3．
則∠ABC=45°．
過點B作BN⊥x軸交CD于點N（如圖1），則∠ABC=∠NBC=45°．
∵直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對稱，
∴∠ACB=∠NCB，
在△ACB和△NCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NCB=∠ACB}\\{CB=CB}\\{∠NBC=∠ABC}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△NCB（ASA）．
∴BN=BA．
∵A，B關(guān)于拋物線的對稱軸x=2對稱，B（3，0），
∴A（1，0）．∴BN=BA=2．∴N（3，2）．
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+3，
則2=3k+3，
解得：k=-$\frac{1}{3}$，
則直線CD的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$x+3；

（3）當EF=OF時，E（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
當OE=EF時，證明△OBE≌△ECF，E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{6-3\sqrt{2}}{2}$）；

（4）設(shè)P（2，p），∵M（2，-1），B（3，0），C（0，3），
∴根據(jù)勾股定理，得PM²=（p+1）²=p²+2p+1，PB²=（3-2）²+p²=p²+1，
PC²=2²+（p-3）²=p²-6p+13，
∵PM²+PB²+PC²=35，
∴p²+2p+1+p²-6p+13=35，
整理，得3p²-4p-20=0，
解得：p₁=-2，p₂=$\frac{10}{3}$．
∴P（2，-2）或（2，$\frac{10}{3}$）．
當P（2，$\frac{10}{3}$）時，直線OP：y=$\frac{5}{3}$x，聯(lián)立拋物線的解析式有：$\frac{5}{3}$x=x²-4x+3，
解得△＞0，與該拋物線有2個交點；
當P（2，-2）時，直線OP：y=-x，聯(lián)立拋物線的解析式有：
x²-4x+3=-x，即 x²-3x+3=0
△=（-3）²-4×3＜0，
故該直線與拋物線沒有交點；
綜上，當P（2，$\frac{10}{3}$）時，直線OP與拋物線有兩個交點；當P（2，-2）時，直線OP與拋物線沒有交點．

點評 這道二次函數(shù)綜合題考查的內(nèi)容較為常見，主要涉及到：函數(shù)解析式的確定、軸對稱圖形的性質(zhì)、坐標系兩點間的距離公式以及函數(shù)圖形交點坐標的求法等知識，著重基礎(chǔ)內(nèi)容的考查．