Question

如圖（1），等邊△ABC中，D是AB邊上的動點(diǎn)，以CD為一邊，向上作等邊△EDC，連接AE．

（1）求證：AE∥BC；

（2）如圖（2），將（1）中的動點(diǎn)D運(yùn)動到邊BA的延長線上，仍作等邊△EDC，請問是否仍有AE∥BC？證明你的猜想．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

【分析】（1）證明△ACE≌△BCD推出∠ACB=∠EAC即可證．

（2）證明△DBC≌△EAC可推出∠EAC=∠ACB，由此可證．

【解答】解：（1）證明：∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC=∠B=60°．

又∵∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

∴AE∥BC．

（2）結(jié)論：AE∥BC，

理由：∵△ABC、△EDC為等邊三角形

∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°

∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△DBC和△EAC中，

∵，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC=∠B=60°，

又∵∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

∴AE∥BC．

【點(diǎn)評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)．關(guān)鍵是證明△ACE≌△BCD．