Question

某課題學(xué)習(xí)在探討一團(tuán)周長(zhǎng)為4a的線圈時(shí)，發(fā)現(xiàn)了如下兩個(gè)命題：
命題1：如圖①，當(dāng)線圈做成正三角形ABC時(shí)，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．
命題2：如圖②，當(dāng)線圈做成正方形ABCD時(shí)，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．
請(qǐng)你繼續(xù)探究下列幾個(gè)問(wèn)題：
（1）如圖③，當(dāng)線圈做成正五邊形ABCDE時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明能被半徑為a的圓形紙片完全蓋��；
（2）如圖④，當(dāng)線圈做成平行四邊形ABCD時(shí)，能否被半徑為a的圓形紙片完全蓋住請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖⑤，當(dāng)線圈做成任意形狀的圖形時(shí)，是否還能被半徑為a的圓形紙片完全蓋��？若能蓋住，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；若不能蓋住，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）在如圖③中，

∵∠AOB=72°，∠OAB=∠OBA=54°．
∴∠OAB＜∠AOB，
∴OA＜AB=

4

5

a＜a．
同理OB=OC=OD=OE＜a．
∴以O(shè)為圓心，半徑為a的圓完全蓋住正五邊形ABCDE．

（2）當(dāng)線圈做成平行四邊形時(shí)，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋住．

其理由是：在如圖④中，
∵OB+OD＜AB+AD=2a，
∴OB=OD＜a．
同理OA=OC＜a，
∴平行四邊形ABCD能被以O(shè)為圓心，半徑為a的圓形紙片完全蓋�。�

（3）當(dāng)線圈做成任意形狀的圖形時(shí)，能被半徑為a的圓形紙片完全蓋�。�
其理由是：在如圖⑤中，取曲線上兩點(diǎn)A、B，使曲線分成相等的兩部分，連接AB，在其中一部分上任取一點(diǎn)C，連接AC、BC、C與AB的中點(diǎn)O，則有OC＜

1

2

（AC+BC）＜a．
∴當(dāng)線圈做成任意形狀的曲線時(shí)，都可以被半徑為a的圓形半徑紙片完全蓋�。�