Question

【題目】如圖1，在△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以O(shè)B為一邊，在△OAB外作等邊三角形OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長交OC于E．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；

（3）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長．

Answer 1

【答案】(1)（4，4）；(2)見解析;(3)1.

【解析】

（1）由在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，根據(jù)勾股定理即可求得AB與OA的長，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）首先可得CE∥AB，D是OB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可證得BD=AD，∠ADB=60°，又由△OBC是等邊三角形，可得∠ADB=∠OBC，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可證得BC∥AE，繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形；

（3）首先設(shè)OG的長為x，由折疊的性質(zhì)可得：AG=CG=8-x，然后根據(jù)勾股定理可得方程（8-x）2=x2+（4）2，解此方程即可求得OG的長．

在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，

∴AB＝OB＝×8＝4，

OA＝OB-AB

∴OA= ==4

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）；

（2）證明：∵∠OAB＝90°，

∴AB⊥x軸，

∵y軸⊥x軸，

∴AB∥y軸，即AB∥CE，

∵∠AOB＝30°，

∴∠OBA＝60°，

∵DB＝DO＝4

∴DB＝AB＝4

∴∠BDA＝∠BAD＝120°÷2＝60°，

∴∠ADB＝60°，

∵△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC＝60°，

∴∠ADB＝∠OBC，

即AD∥BC，

∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（3）設(shè)OG的長為x，

∵OC＝OB＝8，

∴CG＝8﹣x，

由折疊的性質(zhì)可得：AG＝CG＝8﹣x，

在Rt△AOG中，AG2＝OG2+OA2，

即（8﹣x）2＝x2+（4）2，

解得：x＝1，

即OG＝1．