Question

3．已知，如圖，以△ABC中的AB和AC為斜邊，分別向△ABC的外側作等腰直角三角形△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中點，過點D作DF⊥AB于F，連接FM．（1）如圖1，若MF=3，求AC的長；
（2）如圖1，求證：MD=ME；
（3）如圖2，在△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中點，連接MD和ME，過點D作DE⊥AB于F，連接FM，猜想：△MDE是否是等腰直角三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形中位線定理即可解決．
（2）欲證明MD=ME只要證明△DFM≌△MGE即可．
（3）欲證明△EMD是等腰直角三角形，只要證明①EM=MD，可以通過△DFM≌△MGE進行證明，②∠EMD=90°，可以由∠OMD+∠MDO=90°來證明．

解答 （1）解：∵DF⊥AB，DB=DA，
∴AF=BF，
∵BM=MC，
∴FM=$\frac{1}{2}$AC即AC=2FM=6．
（2）證明：如圖1中，取AC中點G，連接MG、EG．
∵△ADB、△AEC都是等腰直角三角形，AF=FB，AG=GC，
∴DF=AF=FB，GE=AG=GC，EG⊥AC，
∴∠DFB=∠EGC=90°，
∵AF=BF，BM=MC．AG=GC，
∴FM∥AG，MG∥AF
∴四邊形AFGM是平行四邊形，
∴FM=AG=GE，MG=AF=DF，∠BFM=∠BAC=∠CGM，
∵∠DFM=∠DFB+∠BFM，∠EGM=∠EGC+∠CGM，
∴∠DFM=∠EGM，
在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE，
∴DM=EM．
（3）△EMD是等腰直角三角形，理由如下，
證明：如圖2中，取AC中點G，連接MG、EG，DF交MG于點O．
∵△ADB、△AEC都是等腰直角三角形，AF=FB，AG=GC，
∴DF=AF=FB，GE=AG=GC，EG⊥AC，
∴∠DFB=∠EGC=90°，
∵AF=BF，BM=MC．AG=GC，
∴FM∥AG，MG∥AF
∴四邊形AFGM是平行四邊形，
∴FM=AG=GE，MG=AF=DF，∠BFM=∠BAC=∠CGM，
∵∠DFM=∠DFB-∠BFM，∠EGM=∠EGC-∠CGM，
∴∠DFM=∠EGM，
在△DFM和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE
∴DM=EM，∠MDF=∠EMG，
∵AB∥MG，
∴∠MOD=∠BFD=90°，
∴∠OMD+∠MDO=90°，
∴∠EMG+∠OMD=90°，
∴∠EMD=90°，
∴△EMD是等腰直角三角形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識，添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵，屬于中考�？碱}型．