Question

如圖，在梯形ABCD中，BC=15，AD=21，點(diǎn)P、Q、M、N分別從點(diǎn)A、B、C、D出發(fā)沿AD、BC、CB、DA方向在梯形的邊上同時運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個端點(diǎn)時，運(yùn)動全部停止．已知在相同時間內(nèi)，若BQ=x（x≠0），則AP=CM=2x，DN=5x．
（1）要使點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，需x=

 

，此時DN=5x=

 

，由此可知點(diǎn)Q與點(diǎn)M可能重合嗎？

 

（填“可能”或“不可能”）
（2）當(dāng)x為何值時，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3）若梯形ABCD是等腰梯形，在（2）中的平行四邊形是矩形嗎？若你認(rèn)為是，那么x又為何值時，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？并給予證明；如果認(rèn)為不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）假設(shè)Q與M重合，則有BQ+CM=BC，即x+2x=15，求出x的值，確定出DN的值，與BC比較大小即可做出判斷；
（2）由（1）得到Q只能在M左側(cè)，根據(jù)P與N的位置分兩種情況考慮：當(dāng)P在N左側(cè)與右側(cè)時，分別求出x的值即可；
（3）若梯形ABCD是等腰梯形，在（2）中的平行四邊形不能是矩形，理由為：過B作BE垂直于AD，分兩種情況判斷QP與PN，MP與PN不可能垂直即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：x+2x=15，
解得：x=5，
此時DN=5x=25＞AD=12，由此可知點(diǎn)Q與點(diǎn)M不可能重合；
故答案為：5；25；不可能；

（2）由（1）可知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時，如圖1所示，由QM=PN得到15-（x+2x）=21-（2x+5x），
解得：x=1.5，
當(dāng)x=1.5時，四邊形PQMN是平行四邊形；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時，如圖2所示，由QM=NP得到15-（x+2x）=（2x+5x）-21，
解得：x=3.6，
當(dāng)x=3.6時，四邊形PMQN為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
綜上，當(dāng)x為1.5或3.6時，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

（3）以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形不是矩形，理由為：
過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，如圖所示，
當(dāng)x=1.5時，四邊形PQMN是平行四邊形，
此時AP=2x=3，BQ=1.5，AE=3，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，即PQ與PN不垂直，
∴平行四邊形PQMN不是矩形；
當(dāng)x=3.6時，四邊形PMQN是平行四邊形，
此時AP=2x=7.2，AE=3，PE=4.2；CM=2x=7.2，BM=15-7.2=7.8； 
得到BM≠PE；
∴四邊形BEPM不是矩形，即MP與PN不垂直．
∴平行四邊形PMQN不是矩形，
綜上可得，以P、Q、M、N為頂點(diǎn)的四邊形不是矩形．

點(diǎn)評：此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，一元一次方程的應(yīng)用，利用了分類討論的思想，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．