Question

方程x²+y²+z²=2007

B

（填A(yù)或B）．
（A）有整數(shù)解        （B）沒(méi)有整數(shù)解

Answer 1

分析：先設(shè)x²+a=2007，分析后得到x的最大值為44，a的最小值為71，然后寫(xiě)出比71小的完全平方數(shù)，看這些平方數(shù)中是否有兩個(gè)的和為71，如果有就可以求出方程x²+y²+z²=2007的解．按照這種方法依次取x=43，42，…，判斷方程的解．

解答：解：設(shè)x²+a=2007，當(dāng)x=44時(shí)，a=71，比71小的完全平方數(shù)有64，49，36，25，16，9，4，1，而這些數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的和是71，所以當(dāng)x=44時(shí)，方程x²+y²+z²=2007沒(méi)有數(shù)解．
當(dāng)x=43時(shí)，a=158，比158小的完全平方數(shù)有144，121，100，81，64，49，36，25，16，9，4，1，而這些數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的和為158，所以當(dāng)x=43時(shí)，方程x²+y²+z²=2007沒(méi)有整數(shù)解．
當(dāng)x=42時(shí)，a=243，比243小的完全平方數(shù)有225，196，169，144，121，100，81，64，49，36，25，16，9，4，1，而這些數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的和為243，所以當(dāng)x=42時(shí)，方程x²+y²+z²=2007 沒(méi)有整數(shù)解．
當(dāng)x=41時(shí)，a=326，比326小的完全平方數(shù)有324，289，256，225，196，169，144，121，100，81，64，49，36，25，16，9，4，1，而這些數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的和為326，所以當(dāng)x=41時(shí)，方程x²+y²+z²=2007 沒(méi)有整數(shù)解．
當(dāng)x=40時(shí)，a=407，比407小的完全平方數(shù)有400，361，324，289，256，225，196，169，144，121，100，81，64，49，36，25，16，9，4，1，而這些數(shù)中沒(méi)有兩個(gè)數(shù)的和是407，所以當(dāng)x=40時(shí)，方程x²+y²+z²=2007 沒(méi)有整數(shù)解．
按照這樣的方法依次取x的值，都沒(méi)有y，z的整數(shù)值使得方程x²+y²+z²=2007 成立，所以方程沒(méi)有整數(shù)解．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根據(jù)題意首先確定x的值，然后再討論y，z是否有整數(shù)值滿(mǎn)足方程，然后判斷方程是否有整數(shù)解．