Question

如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．
（1）求證：DP平分∠ADC；
（2）若∠CEF=75°，CF=1+

3

，求△AEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）連接PC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得PC=

1

2

EF=PA．運(yùn)用“SSS”證明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；
（2）利用△EAF是等腰直角三角形，求得∠AEB=60°，利用特殊角的三角函數(shù)設(shè)BE=x，表示出AB，進(jìn)一步表示出CF解決問題．

解答：（1）證明：連接PC．

∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
在△ABE和△ADF中，

AB=AD ∠ABE=∠ADF BE=DF

，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中點(diǎn)，
∴PA=

1

2

EF，PC=

1

2

EF，
∴PA=PC．
在△PAD和△PCD中，

PA=PC AD=CD PD=PD

，
∴△PAD≌△PCD（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）由（1）可知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠AEB=180°-45°-75°=60°，
設(shè)BE=x
∴AB=

3

x，CF=（

3

+1）x，
又∵CF=

3

+1，
則

3

+1=（

3

+1）x
解得x=1
∴AE=2，
∴S△AEF=

1

2

×2×2=2．

點(diǎn)評：此題考查正方形、特殊直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．