如圖1,已知四邊形ABCD是菱形,G是線段CD上的任意一點時,連接BG交AC于F,過F作FH∥CD交BC于H,可以證明結論數(shù)學公式成立.(考生不必證明)
(1)探究:如圖2,上述條件中,若G在CD的延長線上,其它條件不變時,其結論是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(2)計算:若菱形ABCD中AB=6,∠ADC=60°,G在直線CD上,且CG=16,連接BG交AC所在的直線于F,過F作FH∥CD交BC所在的直線于H,求BG與FG的長.
(3)發(fā)現(xiàn):通過上述過程,你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時,結論數(shù)學公式還成立嗎?

解:(1)結論成立
證明:由已知易得FH∥AB,
,
∵FH∥GC,


(2)∵G在直線CD上,
∴分兩種情況討論如下:
①G在CD的延長線上時,DG=10,
如圖1,過B作BQ⊥CD于Q,
由于四邊形ABCD是菱形,∠ADC=60°,
∴BC=AB=6,∠BCQ=60°,
∴BQ=3,CQ=3,
∴BG=
又由FH∥GC,可得
而△CFH是等邊三角形,
∴BH=BC-HC=BC-FH=6-FH,
,
∴FH=
由(1)知,
∴FG=
②G在DC的延長線上時,CG=16,
如圖2,過B作BQ⊥CG于Q,
∵四邊形ABCD是菱形,∠ADC=60°,
∴BC=AB=6,∠BCQ=60°.
∴BQ=3,CQ=3.
∴BG==14.
又由FH∥CG,可得,

∵BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,
∴FH=
∵FH∥CG,

∴BF=14×÷16=
∴FG=14+

(3)G在DC的延長線上時,,
,
成立.
結合上述過程,發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時,結論還成立.
分析:(1)借助中間比進行證明,根據(jù)平行線分線段成比例定理分別證明兩個比都等于即可;
(2)首先應畫出兩個不同的圖形進行分析.構造30°的直角三角形,然后計算兩條直角邊的長,在兩種情況中,GQ=16+3=19或16-3=13,然后根據(jù)勾股定理計算BG的長,進一步根據(jù)比例式求得FG的長;
(3)成立,根據(jù)(2)中的過程,可以分別求得左右兩個比,從而證明結論.
點評:證明比例式的時候,可以利用相似或利用平行線分線段成比例定理進行證明.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

閱讀與理解:
三角形的中線的性質:三角形的中線等分三角形的面積,
即如圖1,AD是△ABC中BC邊上的中線,
S△ABD=S△ACD=
1
2
S△ABC

理由:∵BD=CD,∴S△ABD=
1
2
BD×AH=
1
2
CD×AH=S△ACD
=
1
2
S△ABC

即:等底同高的三角形面積相等.
操作與探索
在如圖2至圖4中,△ABC的面積為a.
(1)如圖2,延長△ABC的邊BC到點D,使CD=BC,連接DA.若△ACD的面積為S1,則S1=
 
(用含a的代數(shù)式表示);
(2)如圖3,延長△ABC的邊BC到點D,延長邊CA到點E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若△DEC的面積為S2,則S2=
 
(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由;
(3)在圖3的基礎上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖4).若陰影部分的面積為S3,則S3=
 
(用含a的代數(shù)式表示).
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拓展與應用
如圖5,已知四邊形ABCD的面積是a,E、F、G、H分別是AB、BC、CD的中點,求圖中陰影部分的面積?精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,已知四邊形ABCD是菱形,G是線段CD上的任意一點時,連接BG交AC于F,過F作FH∥CD交BC于H,可以證明結論
FH
AB
=
FG
BG
成立.(考生不必證明)
(1)探究:如圖2,上述條件中,若G在CD的延長線上,其它條件不變時,其結論是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(2)計算:若菱形ABCD中AB=6,∠ADC=60°,G在直線CD上,且CG=16,連接BG交AC所在的直線于F,過F作FH∥CD交BC所在的直線于H,求BG與FG的長.
(3)發(fā)現(xiàn):通過上述過程,你發(fā)現(xiàn)G在直線CD上時,結論
FH
AB
=
FG
BG
還成立嗎?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

在直角坐標系xoy中,將面積為3的直角三角形AGO沿直線y=x翻折,得到三角形CHO,連接AC,已知反比例函數(shù)y=
kx
(x>0)
的圖象過A、C兩點,如圖①.
(1)k的值是
 
;
(2)在直線y=x圖象上任取一點D,作AB⊥AD,AC⊥CB,線段OD交AC于點F,交AB于點E,P為直線OD上一動點,連接PB、PC、CE.
㈠如圖②,已知點A的橫坐標為1,當四邊形AECD為正方形時,求三角形PBC的面積;
㈡如圖③,若已知四邊形PEBC為菱形,求證四邊形PBCD是平行四邊形;
㈢若D、P兩點均在直線y=x上運動,當∠ADC=60°,且三角形PBC的周長最小時,請直接寫出三角形PBC與四邊形ABCD的面積之比.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•太原一模)如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點E,以點E為頂點作正方形EFGH,使點A、D分別在EH和EF上,連接BH、AF.
(1)判斷并說明BH和AF的數(shù)量關系;
(2)將正方形EFGH繞點E順時針方向旋轉θ(0°≤θ≤360°),設AB=a,EH=b,且a<2b.
①如圖2,連接AG,設AG=x,請直接寫出x的取值范圍;當x取最大值時,直接寫出θ的值;
②如果四邊形ABDH是平行四邊形,請在備用圖中補全圖形,并求a與b的數(shù)量關系.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,將已知四邊形分別在格點圖中補成關于已知直線:l、m、n、p為對稱軸的軸對稱的圖形.

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同步練習冊答案