Question

如圖，在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，內(nèi)接六個(gè)大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形邊上的頂點(diǎn)．則這六個(gè)小正方形的面積和是

 

．

Answer 1

分析：如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AD，垂足為F，可以得到△BQP∽△FQN，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列式求解即可得到QB和DN，根據(jù)勾股定理可求QN的長(zhǎng)，從而求出六個(gè)小正方形的面積和．

解答：解：如圖所示：
∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為10，
∴∠A=∠B=90°，AB=10，
過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥AD，垂足為F，則∠4=∠5=90°，
∴四邊形AFQB是矩形，
∴∠2+∠3=90°，QF=AB=10，
∵六個(gè)大小完全一樣的小正方形如圖放置在大正方形中，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠PQB，
∴△BQP∽△FQN，
∴

QB

QF

=

QP

QN

=

1

5

，
∴

QB

10

=

1

5

，
∴QB=2．
∴AF=2．
同理DN=2．
∴NF=AD-DN-AF=6．
∴QN=

QF2+FN2

=

102+62

=2

34

，
∴小正方形的邊長(zhǎng)為

2 34

5

，
則六個(gè)小正方形的面積和是6×（

2 34

5

）²=

816

25

．
故答案為：

816

25

．

點(diǎn)評(píng)：考查了面積及等積變換，本題主要利用相似三角形的判定和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)和勾股定理，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．