Question

11．如圖1和2，直線MN和線段AB相交于點O，∠1=∠2=45°．
（1）如圖1，試說明AB⊥BD的理由；
（2）如圖2，如果AO=BO，試說明AC=BD的理由．
完成下列括號填空：
過點B作BE∥AC交MV于E．
∴∠A=∠EBO（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又AO=BO，∠AOC=∠BOE（對頂角相等）
∴△AOC≌△BOE
∴AC=BE，∠ACO=∠BEO
又∠1+∠ACO=180°，∠BED+∠BEO=180°
∴BED=∠1，又∠1=∠2
∴∠BED=∠2
∴BD=BE（等角對等邊）
∴AC=BD．

Answer 1

分析 （1）由對頂角相等得出∠BOD=∠1=45°，再由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=90°，即可得出結(jié)論；
（2）過點B作BE∥AC交MV于E．由平行線的性質(zhì)得出∠A=∠EBO，由ASA證明△AOC≌△BOE，得出AC=BE，∠ACO=∠BEO，由角的互余關(guān)系得出∠BED=∠1，證出∠BED=∠2，由等角對等邊得出BD=BE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠1=∠2=45°．∴∠BOD=∠1=45°，∴∠B=180°-45°-45°=90°，∴AB⊥BD；
如圖1和2，直線MN和線段AB相交于點O，∠1=∠2=45°．
（2）解：過點B作BE∥AC交MV于E．
∴∠A=∠EBO（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
又AO=BO，∠AOC=∠BOE（對頂角相等）
∴△AOC≌△BOE（ASA）
∴AC=BE，∠ACO=∠BEO，
又∠1+∠ACO=180°，∠BED+∠BEO=180°
∴∠BED=∠1，又∠1=∠2
∴∠BED=∠2
∴BD=BE（等角對等邊）
∴AC=BD．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；對頂角相等；等角對等邊．

點評 本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題（2）的關(guān)鍵．