Question

12．某工廠用如圖所示的長方形和正方形紙板做橫式、豎式兩種長方體形狀的無蓋包裝紙盒（拼接處忽略不計），若有長方形紙板281張，正方形紙板122張，要做橫式無蓋、豎式無蓋紙盒共80個．若設(shè)橫式無蓋紙盒為x個，則豎式無蓋紙盒需80-x個．

	長方形紙板張數(shù)	正方形紙板張數(shù)
x個橫式無蓋共需要	3x	2x
80-x個豎式無蓋共需要	4	80-x

（1）把表格填寫完整（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）請你設(shè)計生產(chǎn)方案，要求分別指明橫式無蓋紙盒和豎式無蓋紙盒的生產(chǎn)個數(shù)；
（3）已知每個橫式紙盒的利潤為8元，每個豎式紙盒的利潤為m元（m＞0），
①請寫出利潤函數(shù)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若僅從銷售的利潤考慮，以上哪種方案的利潤最大？最大利潤是多少？（用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 （1）由題意即可得到結(jié)論；
（2）由生產(chǎn)橫式的無蓋長方體包裝盒x個，則生產(chǎn)豎式的無蓋長方體包裝盒（50-x）個，根據(jù)題意可得兩個關(guān)系式為：A種紙盒使用長方形紙板的個數(shù)+B種紙盒使用長方形紙板的個數(shù)≤長方形紙板的張數(shù)，A種紙盒使用正方形紙板的個數(shù)+B種紙盒使用正方形紙板的個數(shù)≤正方形紙板的張數(shù)，把相關(guān)數(shù)值代入求正整數(shù)解即可；
（3）①設(shè)銷售利潤為W元，生產(chǎn)橫式紙盒x個，根據(jù)題意可得：總利潤=橫式紙盒的利潤×橫式紙盒的個數(shù)+豎式紙盒的利潤×豎式紙盒的個數(shù)，即可得到結(jié)論；②再根據(jù)函數(shù)關(guān)系式確定x的值，即可得到答案．

解答 解：（1）如表中所示；
（2）∵生產(chǎn)橫式的無蓋長方體包裝盒x個，則生產(chǎn)豎式的無蓋長方體包裝盒（80-x）個．
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{3x+4（80-x）≤281}\\{2x+80-x≤122}\end{array}\right.$，
解得，39≤x≤42．
∵x是整數(shù)，
∴x₁=39，x₂=40，x₃=41，x₄=42，
答：有4種生產(chǎn)方案，分別是：
生產(chǎn)橫式包裝盒39個，豎式包裝盒41個；
生產(chǎn)橫式包裝盒40個，豎式包裝盒40個；
生產(chǎn)橫式包裝盒41個，豎式包裝盒39個；
生產(chǎn)橫式包裝盒42個，豎式包裝盒38個；

（3）①設(shè)銷售利潤為W元，生產(chǎn)橫式紙盒x個，
則w=8x+m（80-x）=（8-m）x+80m，
②當(dāng)8-m＜0，W隨x 的增大而減小，
∴當(dāng)x=39時，W最大，最大值為80m元；
當(dāng)8-m＞0，W隨x 的增大而增大，
∴當(dāng)x=42時，W最大，最大值為80m元．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題意，根據(jù)豎式及橫式數(shù)量的關(guān)系設(shè)出未知數(shù)，列出不等式組求解是解題關(guān)鍵．