Question

以O(shè)為圓心，1為半徑作圓．△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，P為弧AC的三等分點(diǎn)，則PA²+PB²+PC²的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：由以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，即可得∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=，又由P為弧AC的三等分點(diǎn)，即可得各角的度數(shù)，然后根據(jù)正弦定理，即可求得PA，PB，PC的值，又由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PA²+PB²+PC²的值．
解答：解：∵以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC=，
∴∠APB=∠ACB=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∵P為弧AC的三等分點(diǎn)，
∴∠ABP=∠ABC=20°，
∴∠PBC=40°，
∴∠PAC=∠PBC=40°，
∴∠PAB=∠BAC+∠PAC=100°，
∵，，
∴，，
∵=2，
∴PA=2sin20°，PB=2sin100°，PC=2sin40°，
∴PA²+PB²+PC²=4[sin²20+sin²80+sin²40]=4[++]=4[-cos（60°-20°）+cos20°-cos（60°+20°）]=6．
故答案為：6．
點(diǎn)評：此題考查了圓的內(nèi)角正三角形的性質(zhì)，弧的三等分點(diǎn)的性質(zhì)以及正弦定理等知識．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用正弦定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．