Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直線為x軸．以B點為原點建立平面直角坐標系．將平行四邊形ABCD繞B點逆時針方向旋轉，使C點落在y軸的正半軸上，C、D、A三點旋轉后的位置分別是P、Q和T三點．
（1）求證：點D在y軸上；
（2）若直線y=kx+b經過P、Q兩點，求直線PQ的解析式；
（3）將平行四邊形PQTB沿y軸的正半軸向上平行移動，得平行四邊形P′Q′T′B′，Q、T、B依次與點P′、Q′、T′、B′對應）．設BB′=m（0＜m≤3）．平行四邊形P′Q′T′B′與原平行四邊形ABCD重疊部分的面積為S，求S關于m的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據AB、BD、AD的長，不難得出三角形ABD為直角三角形．由于A、B在x軸上，且B為原點，因此D必在y軸上；
（2）點P的坐標易求出，關鍵是求出Q點的坐標，可過Q作QH⊥y軸于H，那么可在直角三角形PQH中，根據PQ的長和∠QPB的三角函數值（∠QPB=∠DAB），求出PH，QH的長，即可得出Q點的坐標，然后用待定系數法求出直線PQ的解析式．
（3）當0＜m≤3，B'在線段BD上，此時重合部分是個五邊形．設TB'與x軸的交點為M，AD與Q'T的交點為F，那么重合部分的面積可用梯形EFDB的面積-三角形EBB'的面積來求得．
梯形的上底可用AE的長和∠DAB的正切值求出（AE的長為A點橫坐標絕對值與Q點橫坐標絕對值的差），同理可在直角三角形BB′M中求出BM的長，由此可求出S、m的函數關系式．

解答：（1）證明：∵AB²+BD²=3²+4²=5²=AD²
∴△ABD為直角三角形，且AB⊥BD．
由于x軸⊥y軸，AB在x軸上，且B為原點，因此點D在y軸上．

（2）解：顯然，P點坐標為（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB．
過Q點作QH⊥BD，垂足為H．
在Rt△PQH中，QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×

3

5

=

12

5

．
PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×

4

5

=

16

5

．
BH=PB-PH=5-

16

5

=

9

5

．
∴Q（-

12

5

，

9

5

）．
∵直線過P、Q兩點．
∴

b=5 - 12 5 k+b= 9 5

，解得

k= 4 3 b=5

．
∴直線PQ的解析式為y=

4

3

x+5．

（3）解：設B′T′與AB交于點M，Q′T′交AB于點E，交AD于點F．
∵0＜m≤3，∴S=S_梯形BDFE-S_△BB′M．
由（2）可知，BE=QH=

12

5

．
∴AE=AB-BE=4-

12

5

=

8

5

．
∴EF=AE•tan∠DAB=

8

5

×

3

4

=

6

5

．
∴S_梯形BDFE=

1

2

（EF+BD）•BE=

1

2

×（

6

5

+3）×

12

5

=

126

25

．
又ET′∥BB′，∴∠MB′B=∠T′=∠DAB．
∴BM=BB′•tan∠MBB=m•tan∠DAB=

3

4

m．
∴S_△BB'M=

1

2

BM•BB′=

1

2

×

3

4

m×m=

3

8

m²．
∴S=

126

25

-

3

8

m²（0＜m≤3）．

點評：本題主要考查了勾股定理、平行四邊形的性質、圖形的翻轉變換、圖形面積的求法以及一次函數、二次函數的應用等知識點．綜合性強，難度較大．