Question

（2013•宜昌）半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，⊙O與l相切于點(diǎn)F，DC在l上．
（1）過點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)．
①填空：如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，∠EBA的度數(shù)是

30°

；
②如圖2，當(dāng)E，A，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求線段OA的長；
（2）以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動(dòng)正方形（圖3），至邊BC與OF重合時(shí)結(jié)束移動(dòng)，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點(diǎn)，求扇形MON的面積的范圍．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠EBA的度數(shù)即可；
②利用切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得出

OA

OE

=

OE

OB

，進(jìn)而求出OA即可；
（2）設(shè)∠MON=n°，得出S_扇形MON=

nπ

360

×2²=

π

90

n進(jìn)而利用函數(shù)增減性分析①當(dāng)N，M，A分別與D，B，O重合時(shí)，MN最大，②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，分別求出即可．

解答：解：（1）①∵半徑為2cm的與⊙O邊長為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，過點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA的度數(shù)是：30°；

②如圖2，
∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)F，
∴∠OFD=90°，
∵正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2，
∴四邊形OFDA為平行四邊形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四邊形OFDA為矩形，
∴DA⊥AO，
∵正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴O，A，B三點(diǎn)在同一條直線上；
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=∠OAE，
∴△EOA∽△BOE，
∴

OA

OE

=

OE

OB

，
∴OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，∴OA=

5

-1；
方法二：
在Rt△OAE中，cos∠EOA=

OA

OE

=

OA

2

，
在Rt△EOB中，cos∠EOB=

OE

OB

=

2

OA+2

，
∴

OA

2

=

2

OA+2

，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，∴OA=

5

-1；
方法三：
∵OE⊥EB，EA⊥OB，
∴由射影定理，得OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得：OA=-1±

5

，
∵OA＞0，
∴OA=

5

-1；

（2）如圖3，設(shè)∠MON=n°，S_扇形MON=

nπ

360

×2²=

π

90

n（cm²），
S隨n的增大而增大，∠MON取最大值時(shí)，S_扇形MON最大，
當(dāng)∠MON取最小值時(shí)，S_扇形MON最小，
過O點(diǎn)作OK⊥MN于K，
∴∠MON=2∠NOK，MN=2NK，
在Rt△ONK中，sin∠NOK=

NK

ON

=

NK

2

，
∴∠NOK隨NK的增大而增大，∴∠MON隨MN的增大而增大，
∴當(dāng)MN最大時(shí)∠MON最大，當(dāng)MN最小時(shí)∠MON最小，
①當(dāng)N，M，A分別與D，B，O重合時(shí)，MN最大，MN=BD，
∠MON=∠BOD=90°，S_{扇形MON最大}=π（cm²），
②當(dāng)MN=DC=2時(shí)，MN最小，
∴ON=MN=OM，
∴∠NOM=60°，
S_{扇形MON最小}=

2

3

π（cm²），
∴

2

3

π≤S_扇形MON≤π．
故答案為：30°．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和函數(shù)增減性等知識(shí)，得出扇形MON的面積的最大值與最小值是解題關(guān)鍵．