Question

6．如圖，在?ABCD中，O為對角線BD的中點(diǎn)，BE平分∠ABC且交AD于點(diǎn)P，交CD的延長線于點(diǎn)E；作EO交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G．
（1）求證：DF=BG；
（2）若AB=6，AD=9，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）連接FB、DG，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到四邊形FBGD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連接FB、DG，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥CD，又BO=OD，
∴GO=OF，
∴四邊形FBGD是平行四邊形，
∴DF=BG；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠EBC，
∴∠ABE=∠APB，
∴AP=AB=6，
∴PD=9-6=3，
∵AD∥BC，PD=3，BC=9，
∴$\frac{EP}{EB}$=$\frac{1}{3}$，又BG=DF，
∴PF=$\frac{1}{3}$DF，又PD=3，
∴DF=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比相等、平行四邊形的對邊平行且相等是解題的關(guān)鍵．