Question

（2010•房山區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l₁：y=-

3

x+6

3

交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M（m，n）是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是線段OA的三等分點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）連接CM，將△ACM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，得到△A′C′M．
①當(dāng)BM=

1

2

AM時(shí)，連接A′C、AC′，若過(guò)原點(diǎn)O的直線l₂將四邊形A′CAC′分成面積相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；
②過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥x軸于H，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為何值時(shí)，由點(diǎn)A′、H、C、M構(gòu)成的四邊形為梯形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段OA的三等分點(diǎn)確定點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；
（2）①過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，利用相似三角形的性質(zhì)得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用平行線的性質(zhì)及平行四邊形的對(duì)稱性確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式即可；
②根據(jù)點(diǎn)C1的坐標(biāo)，分點(diǎn)H在C點(diǎn)左側(cè)和點(diǎn)H在C點(diǎn)右側(cè)兩種情況并利用四邊形A'C₁HM是梯形求得點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答：（1）根據(jù)題意：A（6，0），B（0，6

3

）
∵C是線段OA的三等分點(diǎn)
∴C（2，0）或C（4，0）

（2）①如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，
則△BMN∽△BAO
∵BM=

1

2

AM
∴BM=

1

3

BA
∴BN=

1

3

BO
∴N（0，4

3

）
∵點(diǎn)M在直線y=-

3

x+6

3

上
∴M（2，4

3

）
∵△A'C'M是由△ACM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到的
∴A'C'∥AC
∴無(wú)論是C₁、C₂點(diǎn)，四邊形A'CAC'是平行四邊形且M為對(duì)稱中心
∴所求的直線l₂必過(guò)點(diǎn)M（2，4

3

）
∴直線l₂的解析式為：y=2

3

x
②當(dāng)C₁（2，0）時(shí)，
第一種情況：H在C點(diǎn)左側(cè)
若四邊形A'HC₁M是梯形
∵A'M與HC₁不平行
∴A'H∥MC₁此時(shí)M（2，4

3

）
第二種情況：H在C點(diǎn)右側(cè)
若四邊形A'C₁HM是梯形
∵A'M與C1H不平行
∴A'C₁∥HM
∵M(jìn)是線段AA'的中點(diǎn)
∴H是線段AC₁的中點(diǎn)
∴H（4，0）
由OA=6，OB=6

3

∴∠OAB=60°
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5
∴M（5，

3

）
當(dāng)C₂（4，0）時(shí)，同理可得
第一種情況：H在C₂點(diǎn)左側(cè)時(shí)，M（4，2

3

）
第二種情況：H在C₂點(diǎn)右側(cè)時(shí)，M（

11

2

，

3

2

）
綜上所述，所求M點(diǎn)的坐標(biāo)為：M（2，4

3

），M（5，

3

），M（4，2

3

）或M（

11

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，題目中還滲透了相似及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．