Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線l與拋物線交于A，C兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與A，C不重合），過P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物

線于點(diǎn)E，求△ACE面積的最大值；

（3）若直線PE為拋物線的對(duì)稱軸，拋物線與y軸交于點(diǎn)D，直線AC與y軸交于點(diǎn)Q，

點(diǎn)M為直線PE上一動(dòng)點(diǎn)，則在x軸上是否存在一點(diǎn)N，使四邊形DMNQ的周長

最小，若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（4）點(diǎn)H是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使A、C、F、H四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)

的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果

不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，

∴A(-1，0)，B(3，0)；

將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，

∴C（2，-3） ∴直線AC的函數(shù)解析式是y=-x-1                

（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x(-1≤x≤2)

則P、E的坐標(biāo)分別為：P(x，-x-1)，E(x，x²-2x-3)

∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=(-x-1)-(x²-2x-3) =-x²+x+2，

∴當(dāng)x=時(shí)，PE的最大值=

△ACE的面積最大值=

（3）D點(diǎn)關(guān)于PE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C(2，-3)，點(diǎn)Q(0，-1)點(diǎn)關(guān)

于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M(0，1)，連接CQ交直線PE與MD點(diǎn)，

交x軸于N點(diǎn)，可求直線CQ的解析式為，

M(1，-1)， N(，0) 

（4）存在F₁(-3，0)，F₂(1，0)，F₃，F₄．