Question

【題目】如圖，直線y=kx+6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2.5，0）．

（1）求k的值；

（2）若點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置（求點(diǎn)P的坐標(biāo)）時(shí)，△OPA的面積為5，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k的值為2；（2）△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=2.5x+7.5（﹣3＜x＜0）；（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（﹣1，4）或（﹣5，﹣4）時(shí)，△OPA的面積為5．

【解析】

試題分析：（1）由直線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入即可求出k的值；（2）過點(diǎn)P作x軸的垂線段，能夠發(fā)現(xiàn)P點(diǎn)到x軸的距離為P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入直線方程用x表示出來P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再套用三角形面積公式即可得出結(jié)論，再由點(diǎn)P在第二象限，即可確定x的取值范圍；（3）分兩種情況，一種P點(diǎn)在x軸上方，一種在x軸下方，分類討論即可得出結(jié)論．

解：（1）∵點(diǎn)E（﹣3，0）在直線y=kx+6的圖象上，

∴有0=﹣3k+6，解得：k=2．

故k的值為2．

（2）過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，如圖1．

∵點(diǎn)P（x，y）是第二象限內(nèi)的直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)介于E、F的橫坐標(biāo)之間，

∴﹣3＜x＜0．

∵點(diǎn)P在直線y=2x+6上，

∴y=2x+6．

∵PB⊥x軸，且P點(diǎn)在第二象限，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2.5，0），

∴PB=y=2x+6，OA=2.5．

∴△OPA的面積S=OAPB=2.5x+7.5．

故△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式為S=2.5x+7.5（﹣3＜x＜0）．

（3）∵令（2）中的關(guān)系式中x=0，解得S=7.5＞5，

∴若點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，必在第二象限，點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，必在第三象限．

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，有△OPA的面積S=2.5x+7.5，

令S=5，即2.5x+7.5，解得：x=﹣1．

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，4）；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖2，

此時(shí)PB=﹣y=﹣2x﹣6，

△OPA的面積S=OAPB=×2.5×（﹣2x﹣6）=﹣2.5x﹣7.5=5，

解得：x=﹣5．

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，﹣4）．

綜上可知：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（﹣1，4）或（﹣5，﹣4）時(shí)，△OPA的面積為5．