Question

17．如果關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有兩個實根，且其中一個根為另一根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方”，以下關(guān)于倍根方程的說法正確的是②③④（填正確序號）
①方程x²-x-2=0是倍根方程．
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，則4m²+5mn+n²=0．
③若點（p，q）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，則關(guān)于x的方程px²+3x+q=0是倍根方程．
④若方程ax²+bx+c=0是倍根方程且相異兩點M（1+t，s）、N（4-t，s）都在拋物線y=ax²+bx+c上，則方程ax²+bx+c=0必有一個根為$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 ①根據(jù)倍根方程定義即可得到方程x²-x-2=0不是倍根方程，故①錯誤；②根據(jù)倍根方程的定義得到x₁，x₂，得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，即可得到4m²+5mn+n²=0，故②正確；③根據(jù)已知條件得到pq=2，解方程px²+3x+q=0得到方程的根；④由方程ax²+bx+c=0是倍根方程，得到x₁=2x₂，有已知條件得到得到拋物線的對稱軸x=$\frac{5}{2}$，于是求出x₁=$\frac{5}{3}$，故④正確．

解答 解：①解方程x²-x-2=0得：x₁=2，x₂=-1，
∴方程x²-x-2=0不是倍根方程，故①錯誤；
②∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0，故②正確；
③∵點（p，q）在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，
∴pq=2，
解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，
∴x₂=2x₁，故③正確；
④∵方程ax²+bx+c=0是倍根方程，
∴設(shè)x₁=2x₂，
∵相異兩點M（1+t，s），N（4-t，s）都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴拋物線的對稱軸x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴x₁+x₂=5，
∴x₂+2x₂=5，
∴x₂=$\frac{5}{3}$，故④正確．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，反比例函數(shù)圖形上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖形上點的坐標(biāo)特征，正確的理解“倍根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．