Question

如圖拋物線y=ax²+bx+c，經(jīng)過A、B、C三點，A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式，并求對稱軸；
（2）能否在對稱軸上找一點P，使△APC的周長最�。咳裟�，求P點坐標；若不能，說明理由．
（3）直線l平行x軸，交拋物線于DE，是否存在以DE為直徑的圓與x軸相切？若存在，求該圓的半徑；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)線段的性質(zhì)，可得BC最短，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得PA與PB的關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)韋達定理，可得兩點間的距離，根據(jù)DE的一半等于D點的縱坐標，可得以DE為直徑的圓與x軸相切，根據(jù)解無理方程，可得答案．

解答：解：：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）
代入拋物線y=ax²+bx+c中，
得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，解得：

a=-1 b=2 c=3

∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3；
（2）連接BC，直線BC與直線l的交點為P；

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將B（3，0），C（0，3）代入上式，
得：

3k+b=0 b=3

，解得：

k=-1 b=3

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3；
當x=1時，y=2，
即P的坐標（1，2）；

（3）存在．
由y=-x²+2x+3得
-x²+2x+3-y=0
設(shè)一元二次方程的兩根是x₁，x₂，
由韋達定理得x₁+x₂=2，x₁，•x₂=y-3，
（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂
=4-4y+12=16-4y，

x1-x2

2

=

7-4y

2

由以DE為直徑的圓與x軸相切，得

7-4y

2

=y
解得y=

2

-

1

2

，
該圓的半徑是

2

-

1

2

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，（2）線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點間線段最短；（3）先化成關(guān)于x的一元二次方程，由韋達定理求出DE的長度，D點的縱坐標就是圓的半徑．