Question

4．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊AB、BC上，CD、AE交于點(diǎn)F，∠AFD=60°．
（1）如圖1，求證：BD=CE；
（2）如圖2，F(xiàn)G為△AFC的角平分線，點(diǎn)H在FG的延長(zhǎng)線上，HG=CD，連接HA、HC，求證：∠AHC=60°；
（3）在（2）的條件下，若AD=2BD，F(xiàn)H=9，求AF長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠BAC=∠C=∠ABE=60°，根據(jù)SAS推出△ABE≌△BCD，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得CM=CN，利用∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，得出∠CEM=∠CGN，然后根據(jù)AAS證得△ECM≌△GCN，得出CG=CE，EM=GN，∠ECM=∠GCN，進(jìn)而證得△AMC≌△HNC，得出∠ACM=∠HCN，AC=HC，從而證得△ACH是等邊三角形，證得∠AHC=60°；
（3）在FH上截取FK=FC，得出△FCK是等邊三角形，進(jìn)一步得出FC=KC=FK，∠ACF=∠HCK，證得△AFC≌△HKC得出AF=HK，從而得到HF=AF+FC=9，由AD=2BD可知AG=2CG，再由$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△CFG}}$=$\frac{AG}{GC}$，根據(jù)等高三角形面積比等于底的比得出$\frac{{S}_{△AEG}}{{S}_{△CFG}}$=$\frac{\frac{1}{2}AF•GW}{\frac{1}{2}CF•GQ}$=$\frac{AF}{CF}$=2，再由AF+FC=9求得．

解答 解：（1）如圖1，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACE=60°BC=AC，
∵∠AFD=∠CAE+∠ACD=60°∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠CAE，
在△ABE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACE}\\{BC=AC}\\{∠BCD=∠CAE}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△BCD（ASA），
∴BD=CE；
（2）如圖2，作CM⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于M，作CN⊥HF于N，
∵∠EFC=∠AFD=60°
∴∠AFC=120°，
∵FG為△AFC的角平分線，
∴∠CFH=∠AFH=60°，
∴∠CFH=∠CFE=60°，
∵CM⊥AE，CN⊥HF，
∴CM=CN，
∵∠CEM=∠ACE+∠CAE=60°+∠CAE，∠CGN=∠AFH+∠CAE=60°+∠CAE，
∴∠CEM=∠CGN，
在△ECM和△GCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEM=∠CGN}\\{∠CME=∠CNG=90°}\\{CM=CN}\end{array}\right.$
∴△ECM≌△GCN（AAS），
∴CE=CG，EM=GN，∠ECM=∠GCN，
∴∠MCN=∠ECG=60°，
∵△ABE≌△BCD，
∵AE=CD，
∵HG=CD，
∴AE=HG，
∴AE+EM=HG+GN，即AM=HN，
在△AMC和△HNC中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=HN}\\{∠AMC=∠HNC=90°}\\{CM=CN}\end{array}\right.$
∴△AMC≌△HNC（SAS），
∴∠ACM=∠HCN，AC=HC，
∴∠ACM-∠ECM=∠HCN-∠GCN，即∠ACE=∠HCG=60°，
∴△ACH是等邊三角形，
∴∠AHC=60°；
（3）如圖3，在FH上截取FK=FC，
∵∠HFC=60°，
∴△FCK是等邊三角形，
∴∠FKC=60°，F(xiàn)C=KC=FK，
∵∠ACH=60°，
∴∠ACF=∠HCK，
在△AFC和△HKC中
$\left\{\begin{array}{l}{FC=KC}\\{∠ACF=∠HCK}\\{AC=HC}\end{array}\right.$
∴△AFC≌△HKC（SAS），
∴AF=HK，
∴HF=AF+FC=9，
∵AD=2BD，BD=CE=CG，AB=AC，
∴AG=2CG，
∴$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△CFG}}$=$\frac{AG}{GC}$=$\frac{2}{1}$，
作GW⊥AE于W，GQ⊥DC于Q，
∵FG為△AFC的角平分線，
∴GW=GQ，
∵$\frac{{S}_{△AFG}}{{S}_{△CFG}}$=$\frac{\frac{1}{2}AF•GW}{\frac{1}{2}CF•GQ}$=$\frac{AF}{CF}$=$\frac{2}{1}$，
∴AF=2CF，
∴AF=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，找出輔助線根據(jù)全等三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．