Question

18．如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，以AD為直徑作圓O交AB于E，已知CD=2，則圖中陰影部分的面積（用含x的代數(shù)式表示）為：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=60°，AB=4，由角平分線的定義得到∠CAD=∠BAD=30°，求得BC=6，設(shè)圓心為O，連接OE，DE，根據(jù)圓周角定理得到∠AED=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，AB=4，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∵CD=2，
∴AD=4，AC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=6，
∴BD=4，
設(shè)圓心為O，連接OE，DE，
∴∠DOE=2∠BAD=60°，
∵AD為直徑，
∴∠AED=90°，
∴DE=DC=2，
∵∠B=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∵OA=$\frac{1}{2}AD$=2，
∴S_扇形ODE=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2}{3}$π，
∵OA=OD，
∴S_△AOE=$\frac{1}{2}$S_△ADE=$\frac{1}{2}AE•DE$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2$=2$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_△ADB-S_扇形-S_△AOE=$\frac{1}{2}$×$4×2\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}π$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．
故答案為：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形的面積的計(jì)算，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．