Question

如圖1，四邊形ABCD、EFGH為兩個(gè)全等的矩形，且矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)E，點(diǎn)A在EG上，∠ACB=30°．將矩形EFGH繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜60°），如圖2，GE、FE與AD分別相交于N、M．
（1）求證：AN+DM＞MN；
（2）若MN²+DM²=AN²，求旋轉(zhuǎn)角α的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得AE=DE，再求出∠AED=120°，將△AEN繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DPE，連接MP，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EP=NE，DP=AN，∠DEP=∠EN，再求出∠MEN=∠MEP=60°，然后利用“邊角邊”證明△MEN和△MEP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=MP，然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊證明即可；
（2）利用勾股定理逆定理判斷出△DPM是直角三角形，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EMN=∠EMP=45°，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠MNE=75°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AEN=45°，即為旋轉(zhuǎn)角度數(shù)．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE=DE，
∵∠ACB=30°，
∴∠AED=180°-30°×2=120°，
將△AEN繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△DPE，連接MP，
則EP=NE，DP=AN，∠DEP=∠EN，
∵∠AED=120°，
∴∠MEN=∠MEP=60°，
在△MEN和△MEP中，

EP=NE ∠MEN=∠MEP EM=EM

，
∴△MEN≌△MEP（SAS），
∴MN=MP，
由三角形的三邊關(guān)系得，DP+DM＞MP，
∴AN+DM＞MN；

（2）解：∵M(jìn)N²+DM²=AN²，
∴△DPM是直角三角形，∠DMP=90°，
∵△MEN≌△MEP，
∴∠EMN=∠EMP=45°，
在△MNE中，∠MNE=180°-45°-60°=75°，
在△ANE中，∠AEN=∠MNE-∠CAD=75°-30°=45°，
∴旋轉(zhuǎn)角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理逆定理的應(yīng)用，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．