Question

【題目】（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，半圓O的直徑AB＝10，點P是半圓O上的一個動點，則△PAB的面積最大值是 ；

（問題探究）如圖2所示，AB、AC、是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所對的圓心角為60°．新區(qū)管委會想在路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F，即分別在、線段AB和AC上選取點P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP．顯然，為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本，就要使線段PE、EF、FP之和最短（各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計）．可求得△PEF周長的最小值為 km；

（拓展應用）如圖3是某街心花園的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在圍墻OA和OB上分別有兩個入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中點，出口E在上．現(xiàn)準備沿CE、DE從入口到出口鋪設兩條景觀小路，在四邊形CODE內種花，在剩余區(qū)域種草．

①出口E設在距直線OB多遠處可以使四邊形CODE的面積最大？最大面積是多少？(小路寬度不計)

②已知鋪設小路CE所用的普通石材每米的造價是200元，鋪設小路DE所用的景觀石材每米的造價是400元．

請問：在上是否存在點E，使鋪設小路CE和DE的總造價最低？若存在，求出最低總造價和出口E距直線OB的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】[問題發(fā)現(xiàn)] 25；[問題探究] ；[拓展應用] ①出口E設在距直線OB的7.2米處可以使四邊形CODE的面積最大為60平方米，②出口E距直線OB的距離為米.

【解析】

[問題發(fā)現(xiàn)]△PAB的底邊AB一定,面積最大也就是P點到AB的距離最大,故當OP⊥AB時,時最大，值是5，再計算此時△PAB面積即可；

[問題探究]先由對稱將折線長轉化線段長，即分別以、所在直線為對稱軸，作出關于的對稱點為，關于的對稱點為，連接，易求得：，而，即當最小時，可取得最小值．

[拓展應用]①四邊形CODE面積=S△CDO＋S△CDE′，求出S△CDE′面積最大時即可；

②先利用相似三角形將費用問題轉化為CE＋2DE＝CE＋QE，求CE＋QE的最小值問題．然后利用相似三角形性質和勾股定理求解即可。

[問題發(fā)現(xiàn)]解：當OP⊥AB時,時最大，，此時△APB的面積=，

故答案為：25；

[問題探究]解：如圖2-1，連接，,分別以、所在直線為對稱軸，作出關于的對稱點為，關于的對稱點為，連接，交于點，交于點，連接、，

，

，，

，

、、在以為圓心，為半徑的圓上，

設，

易求得：，

，，

，

當最小時，可取得最小值，

，

，即點在上時，可取得最小值，如圖2-2，

如圖2-3，設的中點為，

，

，

，

，

，

由勾股定理可知：，

，，

是等邊三角形，

，

由勾股定理可知：，

，

，

的最小值為．

故答案為：

[拓展應用]①如圖，作OG⊥CD，垂足為G，延長OG交于點E′，則此時△CDE的面積最大．

∵OA＝OB＝12，AC＝4，點D為OB的中點，∴OC＝8，OD＝6，

在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，∴GE′＝12－4.8＝7.2，

∴四邊形CODE面積的最大值為S△CDO＋S△CDE′＝×6×8＋×10×7.2＝60，

作E′H⊥OB，垂足為H，則E′H＝OE′＝×12＝7.2．

答：出口E設在距直線OB的7.2米處可以使四邊形CODE的面積最大為60平方米．

②鋪設小路CE和DE的總造價為200CE＋400DE＝200（CE＋2DE）．

如圖，連接OE，延長OB到點Q，使BQ＝OB＝12，連接EQ．

在△EOD與△QOE中，∠EOD＝∠QOE，且，

∴△EOD∽△QOE，故QE＝2DE．

于是CE＋2DE＝CE＋QE，問題轉化為求CE＋QE的最小值．

連接CQ，交于點E′，此時CE＋QE取得最小值為CQ，

在Rt△COQ中，CO＝8，OQ＝24，∴CQ＝8，故總造價的最小值為1600．

作E′H⊥OB，垂足為H，連接OE′，設E′H＝x，則QH＝3x，

在Rt△E′OH中，，

解得（舍去），

∴出口E距直線OB的距離為米．