Question

11．如圖，將△ABC沿著過AB中點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的A₁處，折痕與AC邊交于點(diǎn)E，分別過點(diǎn)D、E作BC的垂線，垂足為Q、P，稱為第1次操作，記四邊形DEPQ的面積為S₁；還原紙片后，再將△ADE沿著過AD中點(diǎn)D₁的直線折疊，使點(diǎn)A落在DE邊上的A₂處，折痕與AC邊交于點(diǎn)E₁，分別過點(diǎn)D₁、E₁作BC的垂線，垂足為Q₁、P₁，稱為第2次操作，記四邊形D₁E₁P₁Q₁的面積為S₂；按上述方法不斷操作下去…，若△ABC的面積為1，則S_n的值為（　　）

• A． $\frac{{2}^{2n}-2}{{2}^{2n}}$
• B． $\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{2n-1}}$
• C． $\frac{{3}^{n}-1}{{2}^{2n}}$
• D． $\frac{{2}^{n-1}-1}{{2}^{2n}}$

Answer 1

分析 根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得DA=DA'=DB，從而可得∠ADA'=2∠B，結(jié)合折疊的性質(zhì)，∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，繼而判斷DE∥BC，得出DE是△ABC的中位線，證得AA₁⊥BC，進(jìn)而得到四邊形DEPQ的面積為DQ×DE=（AA₁-AA₂）×DE，再用同樣的方法計(jì)算四邊形D₁E₁P₁Q₁的面積為D₁Q₁×D₁E₁=（AA₁-AA₃）×D₁E₁，四邊形D₂E₂P₂Q₂的面積為D₂Q₂×D₂E₂=（AA₁-AA₄）×D₂E₂，最后根據(jù)所得的計(jì)算結(jié)果得出規(guī)律即可．

解答 解：連接AA₁，
由折疊的性質(zhì)可得：AA₁⊥DE，DA=DA₁，
又∵D是AB中點(diǎn)，
∴DA=DB，
∴DB=DA₁，
∴∠BA₁D=∠B，
∴∠ADA₁=2∠B，
又∵∠ADA₁=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA₁⊥BC，
∴四邊形DEPQ的面積為S₁=DQ×DE=（AA₁-AA₂）×DE=（1-$\frac{1}{2}$）AA₁×$\frac{1}{2}$BC=（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$×2_S△ABC=（1-$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$×2
同理，四邊形D₁E₁P₁Q₁的面積為S₂=D₁Q₁×D₁E₁=（AA₁-AA₃）×D₁E₁=（1-$\frac{1}{4}$）×$\frac{1}{4}$×2
四邊形D₂E₂P₂Q₂的面積為S₃=D₂Q₂×D₂E₂=（AA₁-AA₄）×D₂E₂=（1-$\frac{1}{8}$）×$\frac{1}{8}$×2
…
∴S_n的值為：[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]×（$\frac{1}{2}$）ⁿ×2=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{2n-1}}$
故選（B）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線以及翻折變換，解決問題時(shí)需要掌握三角形中位線的性質(zhì)定理，以及平行線等分線段定理，根據(jù)幾個(gè)四邊形的面積找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．